随机信号分析
随机信号分析复习提纲
注：
本文所有版权归孙宇畅所有，BIT Lecture拥有本文的使用权、转发权等。用户转发请注明作者，尤其强调文中公式的版权皆为作者所有，对未经许可擅自使用者，将追究其责任。
- 本课程的先修课程有《概率论与统计》，《数学分析》/《微积分》/《工科数学分析》。
- 本提纲依赖的课本为朱华等编著的《随机信号分析》（北京理工大学出版社）。
前言
- 《随机信号分析》这门课涉及了很多数学知识，然而单背公式是肯定不行的，还需要自己的很多理解，由于我个人才疏学浅，本篇提纲并没有写太多自己的理解，还需要读者结合书籍、网络进行自己的理解体会。
- 这门课是一门重要的课，说它是数学课有点小看它，说它是专业基础课又觉得不够全面，因为知识之广、内涵之深令我感触颇深，本文的初衷是将一些重要的知识提炼出来，供大家复习时参考。
- 由于事情繁杂，公式又多，本文难免有疏漏，希望大家可以提出来，我会及时修改，使这篇文章可以造福更多人。
第一章 概率论
1.1 概率空间的概念
-
几种概率模型
古典概率，几何概率，统计概率
-
概率空间$ (\Omega,\mathcal{F},P) $
其中$ \Omega $表示样本空间，$ \mathcal{F} $表示事件域，$ P $表示概率。
- 全部样本点构成的集合称为样本空间
- 满足特定要求的部分样本点构成的集合称为事件域
- 事件域包含了许多个事件$ A $
- 每一事件$ A $发生的概率为$ P[A] $
1.2 条件概率空间
-
条件概率空间$ (\Omega,\mathcal{F},P_B) $
其中$ P_B[A]=P[A\mid B] $
-
全概率公式 \(P[A]=\sum_{j=1}^{N}{P[A\mid B_j]P[B_j]}\)
-
贝叶斯公式 \(P[B_i \mid A]=\frac{P[A \mid B_i]P[B_i]}{\sum_{j=1}^{N}{P[A\mid B_j]P[B_j]}}\)
-
统计独立 \(P[B \mid A]=P[B] \:or\: P[A\cap B]=P[A]P[B]\)
1.3 随机变量及其概率分布函数
-
随机变量(RV)的定义
注意：随机变量是个函数，而非变量。
-
离散/连续/混合型随机变量
-
分布密度函数$ f_X(x) $的含义
-
分布函数$ F_X(x) $的含义
-
离散型：$ F_X(x)=P[X\leq x] $
-
连续型：$ F_X(x)=\int_{-\infty}^{x}{f_{X}(x)}dx $
注：求导关系略。
-
-
分布函数$ F_X(x) $的三条基本性质
- 非负、递增函数
- 右连续性
- $ F_X(-\infty)=0, F_X(\infty)=1 $
-
$ f_X(x) $与$ F_X(x) $的关系
1.4 多维随机变量及其分布函数
-
离散型：$ F_{XY}(x,y)=P[X\leq x,Y\leq y] $
-
连续型：$ F_{XY}(x,y)=\int_{-\infty}^{x}{\int_{-\infty}^{y}f_{XY}(x,y)}dxdy $
注：求导关系略。
-
边沿分布函数
$ F_1(x)=F(x,\infty),F_2(y)=F(\infty,y)$
-
边沿密度函数
$ f_X(x)=\int_{-\infty}^{\infty}{f_{XY}(x,y)}dy,f_Y(y)=\int_{-\infty}^{\infty}{f_{XY}(x,y)}dx $
- X,Y为互相独立的RVs，等价于：
- $ F_{XY}(x,y)=F_{X}(x)F_{Y}(y) $
- 连续型：$ f_{XY}(x,y)=f_{X}(x)f_{Y}(y) $
- 离散型：$ P[X=x_i,Y=y_i]= P[X=x_i]P[Y=y_i]$
-
条件概率密度 $f_{X\mid Y}(x\mid y)=\frac{f_{XY}(x,y)}{f_Y(y)}$
- 条件概率分布 $F_{X\mid Y}(x\mid y)=\int_{-\infty}^{x}{f_{X|Y}(u,y)}du$
1.5 随机变量函数的分布
对于随机变量的函数 \(Y=g(X)\) Y仍然是一个随机变量。
- 若Y和X存在单调函数关系，并存在反函数$ X=h(Y) $，则二者的概率密度满足：
-
若反函数$ X=h(Y) $是非单调的，例如有一个Y值对应两个X值，$ X_1=h_1(Y) $，$ X_2=h_2(Y) $，则有： \(f_Y(y)=f_X(h_1(y))|h_1'(y)|+f_X(h_2(y))|h_2'(y)|\)
-
相似地，对于二维随机变量有： \(f_{Y_1Y_2}(y_1,y_2)=|J|f_{X_1X_2}(x_1,x_2), J=\frac{\partial (x_1,x_2)}{\partial (y_1,y_2)}\)
-
若Z是X和Y的组合，则有以下关系（两个特殊的） \(Z=X+Y,f_Z(z)=\int_{-\infty}^{\infty}{f_{XY}(x,z-x)}dx\)
\[Z=XY,f_Z(z)=\int_{-\infty}^{\infty}{\frac{1}{|x|}f_{XY}(x,\frac{z}{x})}dx\]差、商的公式略。
1.6 随机变量的数字特征
-
数学期望（以连续型变量为例） \(E[X]=\int_{-\infty}^{\infty}{Xf_{X}(x)}dx\)
\[E[\vec Y]=\int_{-\infty}^{\infty}{g(\vec X)f_{X}(\vec x)}d\vec x, \vec Y=g(\vec X)\] - 方法：求某RV的数学期望（以离散型变量为例）
- $ E[Y]=\sum_{j=1}^{N}{y_jP[Y=y_j]} $（利用自身分布)
- $ E[Y]=\sum_{i=1}^{M}\sum_{j=1}^{N}{y_jP[X=x_i,Y=y_j]} $（利用联合分布)
- $E[Y]=\sum_{i=1}^{M}{E[Y\mid X=x_i]P[X=x_i]}$（利用条件分布)
-
数学期望的性质
注：只列出了部分难记忆的， 其余可见课本P37。
- $E[X]=E[E[X\mid Y]]$
- $E[g(Y)X\mid Y]=g(Y)E[X\mid Y]$
- $E[g(Y)\mid Y]=g(Y)$
- $E[(X-E[X\mid Y])^2]\leq E[(X-g(Y))^2]$
- 原点/中心矩
- X的k阶原点矩$m_k=E[X^k]$
- X的k阶中心矩$\mu_k=E[(X-E[X])^k]$
- $m_0=1$
- $m_1=E[X]$
- $m_2=\mu_2+[E(X)]^2$
- $\mu_2$描述离散程度（方差）
- $\mu_3$描述概率分布的非对称性
- $\mu_4$描述曲线尖削/平坦程度
-
协方差$K_{XY}=E[(X-E(X))(Y-E(Y))]$
-
相关系数$r_{XY}=\frac{K_{XY}}{\sigma_X\sigma_Y}$
-
独立、不相关、正交的含义
注：十分重要，一定要区分清楚。
- 若$ E[X^jY^k]=E[X^j]E[Y^k] $，则X、Y互相独立。
- 若$ E[XY]=E[X]E[Y] $，或者说$ K_{XY}=0 $，则X、Y互不相关。
- 若$ E[XY]=0 $，则X、Y互相正交。
- 由上可以看出，X和Y互相独立，则说明X和Y一定不相关；X和Y不相关，只有在正态分布的情况下才能说明X和Y相互独立。
1.7 随机变量的特征函数
注：教材中使用 $ C $ 表示特征函数，而其他地方多使用 $ \varphi $，此文中使用前者。
-
特征函数的定义 \(C_X(u)=E[e^{juX}]\)
-
对于连续型变量，它的特征函数是概率密度函数的傅里叶变换。 \(C_X(u)=\int_{-\infty}^{\infty}{e^{juX}f_{X}(x)}dx\)
- 特征函数的性质
- $ C_X(u)\leq C_X(0)=1 $
- 若$ Y=aX+b $，则$ C_Y(u)=e^{jub}C_X(au) $
- 若$Z=X_1+X_2$，且$ X_1 $和$ X_2 $相互独立，则$ C_Z(u)=C_{X_2}(u)C_{X_1}(u) $
- 方法：利用特征函数求$ f_Y(y) $，利用下面两个式子进行对比可得$ h(y)=f_Y(y) $
- $ C_Y(u)=\int_{-\infty}^{\infty}{e^{jug(X)}f_{X}(x)}dx $
- $ C_Y(u)=\int_{-\infty}^{\infty}{e^{juy}h(y)}dy $
-
特征函数与矩的关系 \(E[X^n]=(j)^{-n}\frac{\mathrm{d}^n{C_X(u)}}{\mathrm{d}u^n}{\Big|}_{u=0}\)
\[C_X(u)=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(ju)^n}{n!}E[X^n]}\] -
$ C_{X_1X_2}(u_1,u_2)=\iint_{-\infty}^{\infty}{e^{ju_1X_1+ju_2X_2}f_{X_1X_2}(x_1,x_2)}dx_1dx_2 $
-
$ C_{X_1X_2}(u_1,u_2) $的基本性质
-
$ X_1 $与$ X_2 $统计独立$ \Leftrightarrow $ $ C_{X_1X_2}(u_1,u_2)=C_{X_1}(u_1)C_{X_2}(u_2) $
-
$ C_{X_1X_2}(u_1,u_2) $在实平面上连续一致
-
$ C_{X_1X_2}(u_1,0)=C_{X_1}(u_1),C_{X_1X_2}(0,u_2)=C_{X_2}(u_2) $
$ \Rightarrow $二维正态分布的边沿分布也是正态分布
-
-
对于零均值的正态变量$ X_1,X_2,X_3,X_4 $，有：
\[E[X_1X_2X_3X_4]=E[X_1X_2]E[X_3X_4]+E[X_1X_3]E[X_2X_4]+E[X_1X_4]E[X_2X_3]\]注：很重要的公式
1.8 极限定理
注：本节不是重点内容，不再展开叙述。
- 切比雪夫不等式
- 中心极限定理
- ……
1.9 各种概率分布的参数和特征汇编
注：见课本P91，重点掌握均匀分布、指数分布、正态分布。
第二章 随机过程
2.1 随机过程的基本概念及其统计特性
-
随机过程（RP)的定义
认真理解以下两个定义
- 随机试验E的样本空间是$ S={\zeta} $，若对于每个$ \zeta\in S $，总有一个确知的时间函数$ X(t,\zeta), t\in T $与它对应，这样对于所有的$ \zeta\in S $就可以得到一族时间t的函数，将其称之为随机过程。
- 若对于每个特定的时间$ t_i(i=1,2,…) $，$ X(t_i,\zeta) $都是随机变量，则称$ X(t,\zeta) $为随机过程（$ t $包含所有$ t_i $，即随机过程看作是依赖于时间t的一族随机变量。
-
$ X(t,\zeta) $可以简写为$ X(t) $
-
随机过程的分类
变量取值：连续 变量取值：离散 时间取值：连续 连续型随机过程 离散型随机过程 时间取值：离散 连续随机序列 离散随机序列 -
随机过程的概率分布
\[F_X(x;t)=P\{X(t)\leq x\}\\ F_X(x_1,x_2;t_1,t_2)=P\{X(t_1)\leq x_1,X(t_2)\leq x_2\}\\ F_X(x_1,...,x_n;t_1,...,t_n)=P\{X(t_1)\leq x_1,...,X(t_n)\leq x_n\}\]注：由于连续型的公式较麻烦（哈哈哈哈），只打了离散型。
-
如果$ X(t_1),X(t_2),…,X(t_n) $统计独立，则有： \(f_X(x_1,...,x_n;t_1,...,t_n)=f_X(x_1;t_1)...f_X(x_n;t_n)\)
- 随机过程的特征
- 数学期望 $ m_X(t)=E[X(t)]=\int_{-\infty}^{\infty}{xf_X(x;t)}dx $
- 均方值 $ \Psi^2X(t)=E[X^2(t)]=\int{-\infty}^{\infty}{x^2f_X(x;t)}dx $
- 方差 $ \sigma^2_X(t)=D[X(t)]=E[(X(t)-m_X(t))^2] $
- 标准差（均方差） $ \sigma_X(t)=\sqrt{\sigma^2_X(t)} $
- 自相关函数 $ R_X(t_1,t_2)=E[X(t_1)X(t_2)] $
- 自协方差函数 $ K_X(t_1,t_2)=E[\mathring X(t_1)\mathring X(t_2)] $
- 中心化随机变量 $ \mathring X(t)=X(t)-E[X(t)] $
-
随机过程的特征函数 \(C_X(u;t)=E[e^{juX(t)}]=\int_{-\infty}^{\infty}{e^{juX(t)}f_X(x;t)}dx\)
\[f_X(x;t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}{C_X(u,t)e^{-jux}}du\]推论： \(E[X^n(t)]=(j)^{-n}\frac{\partial^n{C_X(u;t)}}{\partial u^n}{\Big|}_{u=0}\)
2.2 随机过程的微分与积分
-
均方连续：略 \(\lim_{\Delta t\rightarrow 0}E[X(t+\Delta t)]=E[\lim_{\Delta t\rightarrow 0}X(t+\Delta t)]\)
-
均方导数 \(\dot{X}(t)=\frac{\mathrm{d}{X(t)}}{\mathrm{d}t}=\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{X(t+\Delta t)-X(t)}{\Delta t}\) 在均方意义下存在
-
均方可微：略
充分条件为下式存在 \(\frac{\partial^2{R_X(t_1,t_2)}}{\partial t_1\partial t_2}{\Big|}_{t_1=t_2}\)
-
导数与期望的关系 \(E[\frac{\mathrm{d}{X(t)}}{\mathrm{d}t}]=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}E[X(t)]\) 在随机过程平稳时，上式为0。 \(R_{\dot X}(t_1,t_2)=\frac{\partial^2{R_X(t_1,t_2)}}{\partial t_1\partial t_2}\)
-
均方积分 \(Y=\int_a^b X(t)dt\\ Y(t)=\int_a^b X(\lambda)h(\lambda ,t)d\lambda\)
-
均方可积：略
充分条件为下式成立 \(\int_a^b\int_a^b|R_X(t_1,t_2)|dt_1dt_2 < \infty\)
-
积分与期望的关系 \(E[\int_a^b X(t)dt]=\int_a^b E[X(t)]dt \\ m_Y(t)=E[\int_a^b X(\lambda)h(\lambda ,t)d\lambda]=\int_a^b m_X(\lambda)h(\lambda ,t)d\lambda\)
-
推论 \(E[Y^2]=\int_a^b\int_a^bR_X(t_1,t_2)dt_1dt_2\)
\[\sigma_Y^2=\int_a^b\int_a^bK_X(t_1,t_2)dt_1dt_2\] -
对于$ Y(t)=\int_0^tX(\lambda)d\lambda $，相关函数满足： \(R_Y(t_1,t_2)=\int_0^{t_1}\int_0^{t_2}R_X(\lambda,\lambda')d\lambda d\lambda'\)
2.3 平稳RP与遍历性RP
注：
本节是考察重点！
公式中所有$ (x_1,x_2,…,x_n) $简写为$ (x_1,…,x_n) $，认为二者含义相同。
-
严平稳随机过程SSS \(f_X(x_1,...,x_n;t_1,...,t_n)=f_X(x_1,...,x_n;t_1+\varepsilon,...,t_n+\varepsilon)\) 有以下特性：
- $ f_X(x_1;t_1)=f_X(x_1) $
- $ E[X(t)]=m_X $
- $ E[X^2(t)]=\psi_X^2 $
- $ D[X(t)]=\sigma_X^2 $
- $ f_X(x_1,x_2;t_1,t_2)=f_X(x_1,x_2;t_2-t_1)=f_X(x_1,x_2;\tau) $
- $ R_X(t_1,t_2)=R(t_2-t_1)=R(\tau) $
- $ K_X(t_1,t_2)=K(\tau)=R(\tau)-m_X^2 $
- $ K(0)=R(0)-m_X^2 \Leftrightarrow \sigma_X^2=\psi_X^2-m_X^2$
-
宽平稳随机过程WSS
满足三个条件：
- $ E[X(t)]=m_X $
- $ R_X(t_1,t_2)=R(\tau) $
- $ E[X^2(t)]<\infty $
-
平稳随机过程的关键在于：一阶矩与时间无关，二阶矩只与时间差有关。
- SSS和WSS没有必然关系。
- SSS是WSS的条件：均方值有界
- WSS是SSS的条件：是正态随机过程
-
时间均值 \(A\left \langle X(t) \right \rangle=\overline{X(t)}=\lim_{T\rightarrow \infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}X(t)dt\)
-
时间相关函数 \(\mathscr R_X(t,t+\tau)=\overline{X(t)X(t+\tau)}=\lim_{T\rightarrow \infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}X(t)X(t+\tau)dt\)
-
严遍历性随机过程：略
-
宽遍历性随机过程：对于一个平稳RP X(t)，它的均值遍历性、自相关函数遍历性均成立，则成为宽遍历性RP。
- 均值遍历性：$ A\left \langle X(t) \right \rangle=E[X(t)] $
- 自相关函数遍历性：$ \mathscr R_X(t,t+\tau)=E[X(t)X(t+\tau)] $
特别地，在电路中，其二阶矩有着特殊含义：
- $ R_X(0) $代表噪声电压/电流消耗在1欧电阻上的总平均功率
- $ \sigma_X^2 $代表噪声电压/电流消耗在1欧电阻上的交流平均功率
-
平稳随机过程$ X(t) $的均值具有遍历性，充要条件是： \(\lim_{T\rightarrow \infty}\frac{1}{T}\int_{0}^{2T}(1-\frac{\tau}{2T})[R_X(\tau)-m_X^2]d\tau=0\)
-
平稳随机过程的性质
非常重要！
-
$ R_X(0)=E[X^2(t)]=\psi_X^2\geq0 \ K_X(0)=\sigma_X^2=R_X(0)-m_X^2$
-
$ R_X(\tau)=R_X(-\tau) $ 偶函数
-
$ \mid R_X(\tau)\mid \leq R_X(0) $
-
$ R_X(\tau) $ 是非负定的
$ \int_{-\infty}^\infty R_X(\tau)e^{-j\omega\tau}d\tau\geq0 $
-
若X(t)满足$ X(t)=X(t+\tau) $，则称其为周期平稳随机过程，且$ R_X(t)=R_X(t+\tau) $。
-
若X(t)含有一周期平稳分量，则$ R_X(t) $也含有一周期平稳分量，且周期相同。
-
若X(t)为不包含任何周期分量的非周期WSS，则$ \lim_{\mid \tau\mid \rightarrow \infty}R_X(\tau)=m_X^2 $
-
若X(t)的$ R_X(\tau) $中含有常数项C，则$ m_X^2=C $。
-
-
相关系数 \(r_X(\tau)=\frac{K_X(\tau)}{K_X(0)}=\frac{R_X(\tau)-m_X^2}{\sigma_X^2}\)
- 相关时间 \(\tau_0=\int_0^\infty r_X(\tau)d\tau\)
2.4 RP的联合概率分布和互相关函数
- $ F_{XY}(x_1,…,x_n;y_1,…,y_n;t_1,…,t_n;t_1’,…,t_n’) $
- X(t)与Y(t)的关系（会判断）：
- 互相独立
- 互为正交过程
- 互不相关
- 联合严平稳
- 联合宽平稳
- $ R_{XY}(\tau) $的性质
- $ R_{XY}(\tau)=R_{YX}(-\tau) $ （注意不是偶函数）
- $ \mid R_{XY}(\tau)\mid ^2\leq R_X(0)R_Y(0) $
- $ \mid R_{XY}(\tau)\mid \leq\frac{1}{2}[R_X(0)+R_Y(0)] $
- $ r_{XY}(\tau)=\frac{K_{XY}(\tau)}{\sqrt{K_X(0)K_X(0)}} $
2.5 复随机过程
较为简略。
- 复随机变量$ Z=X+jY $
- $ m_Z=m_X+jm_Y $
- $ D_Z=D_X+D_Y $
- $ K_{Z_1Z_2}=E[\mathring Z_1^* \mathring Z_2] $
- 复随机过程$ Z(t)=X(t)+jY(t) $
- $ m_{Z(t)}=m_{X(t)}+jm_{Y(t)} $
- $ D_{Z(t)}=D_{X(t)}+D_{Y(t)} $
- $R_Z(t,t+\tau)=E[Z^*(t)Z(t+\tau)] $
- 若Z(t)满足$ m_{Z(t)}=m_Z=m_X+jm_Y,R_Z(t,t+\tau)=R_Z(\tau) $，则Z(t)宽平稳。
2.6 离散时间随机过程
注：不是重点考察内容，主要掌握概念。
- 如果参量t取离散值$ t_1,t_2,…,t_n $时，这种随机过程称为离散时间随机过程，可记作$ X(n) $。
2.7 正态随机过程
-
如果X(t)的任意n维概率分布都是正态分布，则称它为正态（随机）过程。
-
平稳正态随机过程
注：有能力的可以背过。
- 一维概率密度函数
- 二维概率密度函数
- 一维特征函数
- 二维特征函数
-
正态过程的性质
注：非常非常重要！
- 正态过程的n维概率分布仅取决于其一、二阶矩函数。
- 对于正态过程，广义平稳和狭义平稳等价。
- 对于一个或多个正态过程，不相关和独立等价。
- 平稳正态随机过程X(t)与确定信号S(t)之和的概率分布仍为正态分布，但不一定平稳。
- 正态随机过程X(t)在T上均方可微，则其导数也是正态随机过程。
- 正态随机过程X(t)在T上均方可积，则其积分（两种）也是正态随机过程。
-
$ X~N(m_k,\sigma_X^2) \ \mu_k=E[(X-m_k)^2]=\begin{cases} 0& \text{k为奇数}
1\times3\times5\times…\times(k-1)\sigma_X^k& \text{k为不小于2的偶数} \end{cases}$
第三章 平稳随机过程的谱分析
3.1 随机过程的功率谱密度
-
几个基本概念
用x(t)表示一个时间信号，$ X_x(\omega) $表示它的能谱密度。
-
信号的能量 \(E=\int_{-\infty}^\infty|x(t)|^2dt\)
-
平均功率 \(P=\lim_{T\rightarrow \infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}x^2(t)dt\)
-
Parseval不等式 \(\int_{-\infty}^\infty x^2(t)dt=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty|X_x(\omega)|^2d\omega\)
\[\int_{-\infty}^\infty x(t)h(t)dt=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty X_x(\omega)X_h(\omega)d\omega\] -
能量型/功率型信号
-
-
随机过程：一般能量无限大，功率有限。
- 平均功率
若其平稳，则上式化为 \(Q=E[X^2(t)]=R_X(0)\)
- 功率谱密度：功率在频域上的分布 \(S_X(\omega)=\lim_{T\rightarrow \infty}\frac{1}{2T}E[|X_x(T,\omega)|^2]\) 平稳随机过程的功率谱密度与自相关函数互为傅里叶变换。 \(R_X(\tau)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}S_X(\omega)e^{j\omega\tau}d\omega \\ S_X(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}R_X(\tau)e^{-j\omega\tau}d\tau\)
-
单边PSD \(G(\omega)=\begin{cases} 2S_X(\omega)& \omega\geq0 \\ 0& \text{其他} \end{cases}\)
-
X(t)和它的$ R_X(\tau)、S_X(\omega) $之间的对应关系
注：见书上表3.2
- $ aX(t) $
- $ \frac{dX(t)}{dt} $
- $ \frac{d^nX(t)}{dt^n} $
- $ X(t)e^{\pm j\omega_0t} $
-
几种常用的$ R_X(\tau)、S_X(\omega) $对照表
注：见书上表3.3
3.2 有理功率谱密度分解定理
-
确定信号 \(S(s)=\int_{0}^{\infty}s(t)e^{-st}dt \\ s(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-j\infty}^{j\infty}S(s)e^{st}ds\)
-
随机信号 \(S_(s)=\int_{-\infty}^{\infty}R_X(\tau)e^{-s\tau}d\tau \\ R_X(\tau)=\frac{1}{2\pi j}\int_{-j\infty}^{j\infty}S_X(s)e^{s\tau}ds\)
-
有理功率谱 \(S_X(\omega)=S_0\frac{\omega^{2M}+a_{2M-2}\omega^{2M-2}+...+a_2\omega^2+a_0}{\omega^{2N}+b_{2N-2}\omega^{2N-2}+...+b_2\omega^2+b_0}\) 其中$ S_0>0, N>M$，a、b都是实数。
可以记作： \(S_X(\omega)=\frac{A(\omega^2)}{B(\omega^2)}\\ S_X(s)=\frac{A(-s^2)}{B(-s^2)}\)
- $ S_X(\omega)\geq 0 $的性质：
- $ S_X(\omega)\geq 0 $ 非负
- $ S_X(\omega) $是$ \omega $的实函数
- 对于实随机过程，$ S_X(\omega) $是$ \omega $的偶函数
- $ S_X(\omega) $可积
- $ S_X(s) $的性质
- $ S_X(s) $的所有虚部不为零的零点和极点都成复共轭出现
- $ S_X(s) $的所有零、极点都是偶重的
- 谱分解定理：略
3.3 联合WSS X(t)的功率谱密度
- $ S_{XY}(\omega),S_{YX}(\omega) $的定义区分
- $ S_{XY}(\omega)$ 的傅里叶变换是$ R_{XY}(\tau)$， $S_{YX}(\omega) $的傅里叶变换是$ R_{YX}(\tau)$
- $ S_{XY}(\omega),S_{YX}(\omega) $的性质：
- $ S_{XY}(\omega),S_{YX}(\omega) $是$ \omega $的复函数，不再“正、偶、实”。
- $ S_{XY}(\omega)=S_{YX}^*(\omega)=S_{YX}(-\omega) $
- $ \mid S_{XY}(\omega)\mid ^2\leq S_{X}(\omega)S_{Y}(\omega) $
- 其实部为偶函数，虚部为奇函数
- 若X(t)和Y(t)正交，则$ S_{XY}(\omega)=S_{YX}(\omega)=0 $
- 若X(t)和Y(t)不相关，则$ S_{XY}(\omega)=S_{YX}(\omega)=2\pi m_Xm_YS(\omega) $
- 特殊公式 \(R_{X\dot X}(\tau)=\frac{dR_X(\tau)}{d\tau} \\ S_{X\dot X}(\omega)=j\omega S_X(\omega)\)
3.4 平稳复RP的功率谱密度
注：本节略，不是重点，可以自己看书了解概念。
3.5 离散时间RP的功率谱密度
-
定义：对于一个实随机过程$ X(n) $ \(S_X(\omega)=\lim_{N\rightarrow \infty}\frac{1}{2N+1}E[|X_x(\omega,N,\xi)|^2]\)
-
对于WSS随机过程： \(S_X(\omega)=S_X(e^{j\omega T})=\sum_{m=-\infty}^{\infty}R_X(m)e^{-jmT\omega}\) T为间隔，周期为$ 2\omega_q=2\pi/T $，$ \omega_q $为Nyquist频率。 \(R_X(m)=\frac{1}{2\omega_q}\int_{2\omega_q}^{2\omega_q}S_X(m)e^{jmT\omega}d\omega\) T=1时： \(R_X(m)=\frac{1}{2\pi}\int_{2\pi}^{2\pi}S_X(m)e^{jm\omega}d\omega\)
-
Z变换表示 \(S_X(z)=\sum_{m=-\infty}^{\infty}R_X(m)z^{-m} \\ R_X(m)=\frac{1}{2\pi j}\oint_{|z|=1}S_X(z)z^{m-1}dz\)
-
有理功率谱分解定理
注：不是不重要，而是打公式有点累了。。
-
X(n)、Y(n)各自且联合WSS时，$ R_{XY}(m), R_{YX}(m), S_{XY}(e^{j\omega T}), S_{YX}(e^{j\omega T}) $的关系
-
香农采样定理
在采样周期小于等于 $ 1/2f_c $ 时，可以把s(t)展开为： \(s(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}s(nT)\frac{sin(\omega_ct-n\pi)}{\omega_ct-n\pi}\) 其中s(nT)为在t=nT时对s(t)的振幅采样。
-
若X(t)为一个WSS随机过程，具有零均值，功率谱密度 $ S_X(\omega) $限于$ (-\omega_c,\omega_c) $之间，对其采样，则下列式子成立：
-
若连续时间$ S_X(\omega)=S_c(\omega) $，
则离散时间$ S_X(\omega)=\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^{\infty}S_c(\omega+2\omega_qn) ,R(m)=R_c(mT)$
-
3.6 白噪声、限带白噪声与热噪声
-
白噪声：N(t)为一个具有零均值的平稳随机过程，其功率谱密度均匀分布在$ (-\infty,\infty) $的整个频率区间，即$ S_N(\omega)=\frac{N_0}{2}, -\infty<\omega<\infty $。 \(R_X(\tau)=\frac{N_0}{2}\delta(\tau)\) $ \tau \ne0 $时，$ N(t) $与$ N(t+\tau) $不相关
-
限带白噪声：功率谱密度仅在某频率范围内为常数，其余范围内为0.
-
低通型 \(R_X(\tau)=\frac{S_0\omega_0}{\pi}\frac{sin\omega_0\pi}{\omega_0\pi}\)
-
带通型 \(R_X(\tau)=\frac{S_0\omega_0}{\pi}\frac{sin(\omega\pi/2)}{\omega\pi/2}cos(\omega_0\pi)\)
-
-
热噪声
- 色噪声
- 白噪声序列
第四章 随机信号通过线性系统的分析
- 设随机过程X(t)通过线性系统，输出为Y(t)
- 假定线性系统是时不变、因果、稳定的
- 描述方法：常微分方程，$ h(t)、H(\omega)、H(s) $，状态方程、状态变量
4.1 随机信号通过连续时间线性系统的分析
先时域分析
-
对Y(t)的描述 \(m_Y(t)=m_X(t)*h(t)\)
\[R_{XY}(t_1,t_2)=R_X(t_1,t_2)*h(t_2) \\ R_{YX}(t_1,t_2)=R_X(t_1,t_2)*h(t_1) \\ R_{Y}(t_1,t_2)=R_X(t_1,t_2)*h(t_1)*h(t_2)\]注：
上面三个公式用一个框图表示最容易理解、记忆，可以自己画一下。
*表示卷积，具体积分式略去。
另外： \(E[Y(t_1)...Y(t_n)]=E[X(t_1)...X(t_n)]*h(t_1)*...*h(t_n)\)
-
输入X(t)平稳的情况（双侧随机信号） \(m_Y=m_Y(t)=m_X(t)*h(t) \\ R_{XY}(\tau)=R_X(\tau)*h(\tau) \\ R_{YX}(\tau)=R_X(\tau)*h(-\tau) \\ R_{Y}(\tau)=R_X(\tau)*h(\tau)*h(-\tau)\) 性质：
- $ X(t) WSS\to Y(t) WSS $且二者联合WSS
- $ X(t) SSS\to Y(t) SSS $
- $ X(t) \text{宽遍历}\to Y(t) $ 宽遍历且二者联合宽遍历
- 即时输入$ X(t) WSS $（单侧随机信号）$\to Y(t) \text{非}WSS $，但是时间趋于无穷时，$Y(t)\to WSS $
再频域分析
- 频域分析 \(m_Y=m_XH(0) \\ S_Y(\omega)=S_X(\omega)H(\omega)H(-\omega)=S_X(\omega)|H(\omega)|^2 \\ S_{XY}(\omega)=S_X(\omega)H(\omega) \\ S_{YX}(\omega)=S_X(\omega)H(-\omega) \\ S_{Y}(s)=S_X(s)H(s)H(-s) \\ \varphi_H(\omega)=\theta_{XY}(\omega)\)
4.2 随机信号通过离散时间系统的分析
注：连续时间系统、离散时间系统之间要能对应起来。
-
对Y(t)的描述 \(Y(n)=\sum_{k=0}^{\infty}h(k)X(n-k)=h(n)*X(n) \\ m_Y(n)=\sum_{k=0}^{\infty}h(k)E[X(n-k)]=h(n)*m_X(n) \\ R_{XY}(n,n+m)=\sum_{k=0}^{\infty}h(k)R_X(n,n+m-k) \\ R_{Y}(n,n+m)=\sum_{k=0}^{\infty}\sum_{j=0}^{\infty}h(k)h(j)R_X(n-k,n+m-j)\)
-
平稳随机信号输入的情况 \(m_Y=m_XH(1) \\ R_{XY}(m)=h(-m)*R_X(m) \\ R_{YX}(m)=h(m)*R_X(m) \\ R_{Y}(m)=h(m)*h(-m)*R_X(m) \\ S_{XY}(z)=S_X(z)H(z) \\ S_{YX}(z)=S_X(z)H(z^{-1}) \\ S_{Y}(z)=S_X(z)H(z)H(z^{-1})\)
-
平均功率 \(E[Y^2(n)]=\frac{1}{2\pi j}\oint_lH(z)H(z^{-1})z^{-1}dz \\ =\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|H(e^{j\omega})|^2S_X(\omega)d\omega\)
- 序列信号模型
- 自回归-滑动平均模型，滑动平均模型，自回归模型
注：了解即可
4.3 白噪声通过线性系统的分析与等效噪声带宽
-
输入$ S_X(\omega) $，输出$ S_Y(\omega) $ \(S_X(\omega)=N_0/2 \\ S_X(\omega)=H^*(\omega)H(\omega)S_X(\omega)=|H(\omega)|^2\frac{N_0}{2}\)
-
平均功率 \(\begin{align*} Q&=E[Y^2(t)]\\ &=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}|H(\omega)|^2\frac{N_0}{2}d\omega\\ &=\frac{N_0}{2\pi}\int_{0}^{\infty}|H(\omega)|^2d\omega\\ &=\frac{N_0}{2}\int_{0}^{\infty}h^2(t)dt \end{align*}\)
-
等效噪声带宽
为了计算上述平均功率Q而引出。
- 等效原则：理想系统与实际线性系统在同一白噪声源激励下，输出功率相等；理想系统的增益等于实际系统的最大增益。 \(\begin{align*} Q&=E[Y^2(t)]\\ &=\frac{N_0}{2\pi}\int_{\omega_0-\Delta\omega_e/2}^{\omega_0+\Delta\omega_e/2}|H(\omega)|^2d\omega\\ &=\frac{N_0}{2\pi}|H(\omega)|_{max}^2\Delta\omega_e \end{align*}\)
-
计算公式 \(\Delta\omega_e=\frac{1}{|H(\omega)|_{max}^2}\int_0^{\infty}|H(\omega)|^2d\omega \\ Q=\frac{N_0}{2\pi}|H(\omega)|_{max}^2\Delta\omega_e\)
-
注意区分低通/带通系统
-
$ \Delta\omega_e $与$ \Delta\omega_{3dB} $的关系
- $ \Delta\omega_e $仅与$ H(\omega) $的参数有关
- $ \Delta\omega_e $与$ \Delta\omega_{3dB} $成线性关系
- $ \tau_0 $与$ \Delta\omega_e $成反比
-
平稳RP X(t)功率谱密度的等效噪声带宽
将X(t)看作带限白噪声，可引申出此定义。 \(\Delta\omega_e=\frac{1}{\frac{N_0}{2}|H(\omega)|_{max}^2}\int_0^{\infty}|H(\omega)|^2\frac{N_0}{2}d\omega=\frac{1}{[S_X(\omega)]_{max}}\int_0^{\infty}S_X(\omega)d\omega \\ Q=\frac{1}{\pi}[S_X(\omega)]_{max}\Delta\omega_e\)
4.4 线性系统输出的概率密度
-
若输入X(t)为高斯过程，则输出也为高斯过程，因此只需找出均值、自相关函数即可确定输出的概率密度函数。
-
若输入平稳随机过程X(t)非高斯分布，只要输入过程的等效噪声带宽远大于系统的通频带时，则系统输出端便能得到接近于高斯分布的随机过程。
注：分析较为繁琐，懂思路即可，见书P180。
第五章 窄带随机过程
5.0 几个基本概念
-
确定带通信号 \(\omega_0\gg\Delta\omega \\ s(t)=a(t)cos\omega_0t \\ S(\omega)=\frac{1}{2}[A(\omega-\omega_0)+A(\omega+\omega_0)]\)
-
线性窄带系统
宽带信号通过窄带系统后成为窄带信号。
- 带通随机过程：X(t) SSS，$ S_X(\omega) $是带通的
- 窄带随机过程：$ \omega_0\gg\Delta\omega $
5.1 解析信号、希尔伯特变换及解析过程
-
解析信号 \(\widetilde{S}(\omega)=\begin{cases} 2S(\omega),& \omega\geq0\\ 0,& \omega<0 \end{cases} =2S(\omega)U(\omega)\)
\[\widetilde{s}(t)=2\{s(t)*\frac{1}{2}[\delta(t)+j\frac{1}{\pi t}]\}=s(t)+j\widehat s(t)\]因此 \(s(t)=Re[\widetilde{s}(t)]\)
-
希尔伯特变换
此系统的表达式为： \(h(t)=\frac{1}{\pi t} \\ H(\omega)=-jsgn(\omega)\) 将传递函数重写可发现，相当于一个正交滤波器： \(H(\omega)=|H(\omega)|e^{j\varphi_H(\omega)} \\ |H(\omega)|=1 \\ \varphi_H(\omega)=\begin{cases} -\pi/2,& \omega\geq0\\ \pi/2,& \omega<0 \end{cases}\)
输出为： \(\widehat s(t)=H[s(t)]=s(t)*j\frac{1}{\pi t}=\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{s(\tau)}{t-\tau}d\tau\)
-
希尔伯特反变换 \(h(t)=-\frac{1}{\pi t} \\ H(\omega)=-sgn(\omega)\)
-
解析过程
\(\widetilde{X}(t)=X(t)+j\widehat X(t) \\ X(t)=Re[\widetilde{X}(t)]\) 其中$ \widehat X(t)=\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{X(\tau)}{t-\tau}d\tau $
-
解析过程的性质
-
若X(t) WSS，则$ \widehat X(t) $ WSS，且二者联合WSS。
-
$ S_{\widehat X}(\omega)=\mid H(\omega)\mid^2 S_X(\omega)=S_X(\omega) $
-
$ R_{\widehat X}(\tau)=R_X(\tau) $
-
$ S_{X\widehat X}(\omega)=H(\omega)S_X(\omega)=-jsgn(\omega)S_X(\omega) $
$ S_{\widehat XX}(\omega)=H^*(\omega)S_X(\omega)=jsgn(\omega)S_X(\omega) $
-
$ R_{X\widehat X}(\tau)=\widehat R_X(\tau) $
$ R_{\widehat XX}(\tau)=-\widehat R_X(\tau) $
-
$ R_{X\widehat X}(\tau)=-R_{X\widehat X}(-\tau) $ 奇函数
$ \Rightarrow R_{X\widehat X}(0)=0 $
$ \Rightarrow E[X(t)\widehat X(t)]=0 $ 在同一时刻，$ X(t) $和$ \widehat X(t) $是相互正交的随机变量，但不是相互正交的随机过程！
- $ R_{\widetilde X}(\tau)=E[\widetilde{X}^*(t)\widetilde{X}(t+\tau)]=2[R_X(\tau)+jR_{X\widetilde X}(\tau)] $
- $ S_{\widetilde X}(\omega)=\begin{cases}
4S_X(\omega),& \omega\geq0
0,& \omega<0 \end{cases} $
-
5.2 窄带随机过程的表达式
设X(t)是零均值、$ \sigma_X^2 $方差的实宽平稳窄带随机过程。
-
Rice表达式 \(X(t)=a(t)cos\omega_0t-b(t)sin\omega_0t \\ a(t)=X(t)cos\omega_0t+\widehat X(t)sin\omega_0t \\ b(t)=X(t)cos\omega_0t-\widehat X(t)sin\omega_0t \\\) a(t)、b(t)相对于cos、sin是慢变化的；若X(t)不是窄带RP，只是限带RP，则不是慢变化的。
-
准正弦振荡表达式 \(X(t)=Re[\widetilde X(t)]=A(t)cos[\omega_0t+\Phi(t)]\\ A(t)=\sqrt{a^2(t)+b^2(t)} \\ \Phi(t)=tan^{-1}\frac{b(t)}{a(t)}\) 因此可得两个表达式间的关系： \(a(t)=A(t)cos\Phi(t) \\ b(t)=A(t)sin\Phi(t)\)
-
a(t)、b(t)的统计特性
注：特别特别重要！
- a(t)、b(t)都是实随机过程、各自宽平稳且联合宽平稳。
-
$ E[a(t)]=E[b(t)]=0 $
-
$ R_a(\tau)=R_b(\tau)=R_X(\tau)cos\omega_0\tau+R_{X\widehat X}(\tau)sin\omega_0\tau $
-
$ E[a^2(t)]=E[b^2(t)]=E[X^2(t)]=\sigma_X^2 $
-
$ R_{ab}(\tau)=-R_X(\tau)sin\omega_0\tau+\widehat R_{X}(\tau)cos\omega_0\tau $
$ R_{ab}(\tau)=-R_{ab}(-\tau) $ 奇函数
-
$ R_{ab}(0)=E[a(t)b(t)]=0 $
a(t)、b(t)在同一时刻正交（正交随机变量）。
若$ S_X(\omega) $在正/负频域上的波形关于$ \omega=\omega_0 $或$ \omega=-\omega_0 $偶对称，则$ R_{ab}(\tau)=0 $，此时为a(t)、b(t)正交随机过程。
-
$ R_X(\tau)=R_z(\tau)cos\omega_0\tau+R_{ba}(\tau)sin\omega_0\tau $
-
$ S_a(\omega)=S_b(\omega)=Lp[S_X(\omega-\omega_0)+S_X(\omega+\omega_0)] $ 取低频部分
-
$ S_{ab}(\omega)=-jLp[S_X(\omega+\omega_0)-S_X(\omega-\omega_0)] $
-
若X(t)为零均值、$ \sigma_X^2 $方差的实宽平稳窄带高斯随机过程，
则a(t)、b(t)是零均值的宽平稳高斯RP，且二者联合分布；
a(t)、b(t)在同一时刻是正交、不相关、独立的高斯随机变量。
5.3 窄带高斯RP的包络、相位的概率分布
-
包络$ A(t) $和相位$ \varphi(t) $
见书上P204 图5.15
- $ E[A(t)]=\sqrt{\frac{\pi}{2}}\sigma_X $
- $ E[A(t)]=2\sigma_X^2 $
- $ \sigma_A^2=(2-\frac{\pi}{2})\sigma_X^2 $
-
随机变量$ A_t, \varphi_t $
-
由$ A(t),\varphi(t) $采样得到
- 需要掌握二者的概率密度函数、联合概率密度函数，并且会推导
- $ A_t $服从瑞利分布
- $ \varphi_t $服从均与分布
- $ A_t, \varphi_t $相互独立
-
-
$ a_t,b_t $的性质
- $ a(t),b(t) $是高斯RP，$ a_t,b_t $是高斯RV
- $ E[a_t]=E[b_t]=0 $
- $ E[a_t^2]=E[b_t^2]=E[X_t^2]=\sigma_X^2 $
- $ a_t,b_t $互相独立
- 联合概率密度
5.4 正弦型信号加窄带高斯随机过程之包络和相位的概率分布
注：本节公式过于繁琐，因此只写出重点内容，具体请自己看书理解。
-
$ X(t)=s(t)+N(t) $
-
Rice表达式，准正弦振荡表达式
-
求解$ A_t, \varphi_t,a_t’,b_t’ $
注：写得简单，不代表不重要。
-
$ A_t $服从Rice分布；在$ \rho $很小时趋于瑞利分布，在$ \rho $很大时趋于高斯分布。
-
若窄带高斯噪声通过平方律包络检波器，$ u_t=A_t^2 $是指数密度函数，独立取样后再累加则服从$ \chi^2 $分布。
-
若$ X(t)=s(t)+N(t) $通过平方律包络检波器，独立取样后再累加则服从非中心$ \chi^2 $分布。
第六章 随机信号通过非线性系统的分析
注：注意与第四章进行对比。
6.0 问题
-
设随机过程X(t)通过非线性系统，输出为Y(t)
-
无记忆的非线性系统：对于一个非线性系统，若其在t时刻的输出仅与t时刻的输入有关，而与t时刻之前或之后无关。
x(t)通过传输特性为g(x)的系统，则输出为 \(y(t)=g[x(t)]\)
-
例子（y=g(x))
- 二极管伏安特性
- 半波线性器件
- 平方器件
- 限幅器
- 电压比较器
6.1 无记忆非线性系统的输出概率密度
- 已知x(t)的概率密度函数$ f_X(x,t) $，求$ f_Y(y,t) $
-
求$ f_Y(y_1,y_2;t_1,t_2) $
在y=g(x)单调时， \(J=\frac{\partial{(x_1,x_2)}}{\partial{(y_1,y_2)}}=\frac{1}{|g'(x_1)g'(x_2)|}\)
\[f_Y(y_1,y_2;t_1,t_2)=\frac{f_X(x_1,x_2;t_1,t_2)}{|g'(x_1)g'(x_2)|}\] -
输出N维概率密度
-
无记忆线性系统的输入为高斯RP时，输出为非高斯RP。
-
若输入X(t)严平稳，则输出Y(t)严平稳；若输入X(t)宽平稳，则输出Y(t)不一定宽平稳（但若输入是高斯RP则输出宽平稳）。
-
求$ m_Y(t), R_Y(t_1,t_2) $
-
直接法 \(m_Y(t)=E[Y(t)]=\int_{-\infty}^{\infty}g(x)f_X(x,t)dx \\ R_Y(t_1,t_2)=\iint_{-\infty}^{\infty}g(x_1)g(x_2)f_X(x_1,x_2;t_1,t_2)dx_1dx_2\)
-
特征函数法（变换法） \(F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}g(x)e^{-j\omega x}dx \text{（转移函数）} \\ g(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)e^{j\omega x}d\omega \text{（二者互为傅里叶变换）}\)
\[\begin{align*} m_Y(t)&=E[Y(t)]\\ &=E[\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)e^{j\omega X(t)}d\omega]\\ &=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)E[e^{j\omega X(t)}]d\omega\\ &=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)C_X(\omega,t)d\omega\\ &=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(u)C_X(u,t)du \end{align*}\] \[\begin{align*} R_Y(t_1,t_2)&=E[Y(t_1)Y(t_2)]\\ &=\frac{1}{4\pi ^2}\iint_{-\infty}^{\infty}F(u)F(v)R_YC_X(u,v;t_1,t_2)dudv \end{align*}\] -
Price定理
设$ X(t_1) $和$ X(t_2) $是具有零均值、单位方差的平稳正态随机过程的两个状态，则 \(\frac{\partial^k{R_Y(\tau)}}{\partial{r^k(\tau)}}=\iint_{-\infty}^{\infty}\frac{g^{(k)}(x_1)g^{(k)}(x_2)exp\{-\frac{1}{2(1-r^2(\tau))}[x_1^2+x_2^2-2r(\tau)x_1x_2]\}}{2\pi \sqrt{1-r^2(\tau)}}dx_1dx_2\) 证明过程略，但是证明过程也很重要！
-
级数法（多项式矩函数法）
设y=g(x)在原点处存在各阶导数，则 \(y=g(x)=\sum_{n=0}^{\infty}b_nx^n, b_n=\frac{1}{n!}g^{(n)}{\Big|}_{x=0}\) 因此有 \(Y(t)=g[X(t)]=\sum_{n=0}^{\infty}b_nX^n(t) \\ m_Y(t)=E[Y(t)]=\sum_{n=0}^{\infty}b_nE[X^n(t)] \\ R_Y(t_1,t_2)=E[Y(t_1)Y(t_2)]=\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=0}^{\infty}b_nb_kE[X^n(t_1)X^k(t_1)]\) 其中 \(E[X^n(t)]=\int_{-\infty}^{\infty}x^nf_X(x,t)dx \\ E[X^n(t_1)X^k(t_1)]=\iint_{-\infty}^{\infty}x_1^nx_2^kf_X(x_1,x_2;t_1,t_2)dx_1dx_2\) 一般可使用$ y=g(x)=b_0+b_1x^1+b_2x^2 $近似计算
-
包线法
针对输入为窄带高斯RP的情况
注：分析部分略去，自己看书吧~
研究低频分量 \(I_0=g_0(A_t) \\ E[I_0]=E[g_0(A_t)]=\int_{-\infty}^{\infty}g_0(A_t)f_A(A_t)dA_t=\int_{0}^{\infty}g_0(A_t)\frac{A_t}{\sigma_X^2}exp[-\frac{A_t}{2\sigma_X^2}]dA_t \\ E[I_0^2]=\iint_{-\infty}^{\infty}g_0^2(A_t)\frac{A_t}{\sigma_X^2}exp[-\frac{A_t}{2\sigma_X^2}]dA_t \\ R_{I_0}(t,t+\tau)=\iint_{-\infty}^{\infty}g_0(A_t)g_0(A_{t+\tau})f_A(A_t,A_{t+\tau})dA_tdA_{t+\tau}\)
-
6.2 随机信号通过有记忆非线性系统的分析实例——包络检波器
-
输入为X(t)，包络为A(t)
-
大信号：输出为$ Y(t)=k_dA(t) $ \(E[Y(t)]=k_dE[A(t)]=k_d\sqrt{\frac{\pi}{2}}\sigma_X \\ E[Y(t)]=k_d^2E[A^2(t)]\)
-
小信号：输出为$ Y(t)=k_dA^2(t) $ \(E[Y(t)]=k_dE[A^2(t)]=k_d2\sigma_X^2 \\ E[Y(t)]=k_d^2E[A^4(t)]=k_d^28\sigma_X^2\)
6.3 非线性系统的输出信噪比
-
线性系统
对于输入$ X(t)=s(t)+n(t) $，输出为入$ Y(t)=s_0(t)+n_0(t) $ \(E[Y^2(t)]=E[s_0^2(t)]+2E[s_0(t)n_0(t)]+E[n_0^2(t)]\) 在信号与噪声独立时，$ E[s_0(t)][n_0(t)]=0 $
-
非线性系统，如$ y=g(x)=x^2 $ \(Y(t)=X^2(t)=[S(t)+N(t)]^2\) 设S(t)是零均值WSS，N(t)是0均值，二者互相独立。 \(\begin{align*} R_Y(t,t+\tau)&=E[Y(t)Y(t+\tau)] \\ &=E\{[S(t)+N(t)]^2[S(t+\tau)+N(t+\tau)]^2\}\\ &=E[S^2(t)S^2(t+\tau)]+E[N^2(t)N^2(t+\tau)]+\\ &E[N^2(t)S^2(t+\tau)]+4E[S(t)N(t)S(t+\tau)N(t+\tau)]+E[S^2(t)N^2(t+\tau)]\\ &=R_{S^2}(\tau)+R_{S\times N}(\tau)+R_{N^2}(\tau) \end{align*}\)
\[\begin{align*} E[Y^2(t)]&=R_{S^2}(0)+R_{S\times N}(0)+R_{N^2}(0)\\ &=[Q_{S^2}]_0+[Q_{S\times N}]_0+[Q_{N^2}]_0 \end{align*}\]对于通信系统， \((SNR)_0=\frac{[Q_{S^2}]_0}{[Q_{S\times N}]_0+[Q_{N^2}]_0}\) 对于雷达系统， \((SNR)_0=\frac{[Q_{S^2}]_0+[Q_{S\times N}]_0}{[Q_{N^2}]_0}\)
-
四种常用器件的输出统计特性
图源：《随机信号分析解题指南》（李永庆等编著）
第七章 马尔可夫过程
7.1 定义
-
简单来说，具有无后效性的随机过程称为马尔可夫过程
注：具体定义请查看课本。
-
分类
状态：连续 状态：离散 时间取值：连续 马尔可夫随机过程 可列马尔可夫随机过程 时间取值：离散 马尔可夫随机序列 马尔可夫链
7.3 马尔可夫序列
-
$ X(t_1),…,X(t_n) $简写为$ X_1,…,X_n $
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定义
对于任意的整数n($ n\geq 3 $)，若 \(P[X_n\leq x_n|X_{n-1}=x_{n-1},X_{n-2}=x_{n-2},...,X_{1}=x_{1}]=P[X_n\leq x_n|X_{n-1}=x_{n-1}]\) 则称为马尔可夫序列（一重）
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转移分布 \(F_X(x_n|x_{n-1},...x_1)=F_X(x_n|x_{n-1})\\ f_X(x_n|x_{n-1},...x_1)=f_X(x_n|x_{n-1})\)
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性质
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$ f_X(x_1,…,x_n)=f_X(x_n\mid x_{n-1})f_X(x_{n-1}\mid x_{n-2})…f_X(x_1) $
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马尔可夫序列的子序列是马尔可夫序列。
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马尔可夫序列的逆序列是马尔可夫序列。
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条件均值$ E[X_n\mid X_{n-1},…,X_1]=E[X_n\mid X_{n-1}] $
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若$ n>r>s $，则在假定$ X_r $下，随机变量$ X_n $和$ X_s $是独立的，即 \(f_X(x_n,x_s|x_r)=f_X(x_n|x_r)f_X(x_s|x_r)\)
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切普曼方程 \(f_X(x_n|x_s)=\int_{-\infty}^{\infty}f_X(x_n|x_r)f_X(x_r|x_s),n>r>s\)
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7.3 马尔可夫链
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定义：文字略 \(P[X_{m+k}=a_{i_{m+k}}|X_{m}=a_{i_{m}},X_{m+k}=a_{i_{m}-1},...,X_{1}=a_{i_{1}}]=P[X_{m+k}=a_{i_{m+k}}+X_{m}=a_{i_{m}}]\)
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转移概率 \(p_{ij}(m,m+k)=P[X_{m+k}=a_j|X_m=a_i], i,j=1,...,N\) 如果$ p_{ij}(m,m+k) $与m无关，称为齐次马尔可夫链。
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一次转移概率及转移概率矩阵
当k=1时，$ p_{ij}(m,m+k) $记作$ p_{ij} $（一次转移概率）
转移概率矩阵略。
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n步转移概率及转移概率矩阵
当k=n时，$ p_{ij}(m,m+k) $记作$ p_{ij} (n)$（一次转移概率）
转移概率矩阵略。
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规定$ p_{ij}(0)=p_{ij}(m,m)=\begin{cases}1&,i=j \0&,i\neq j \end{cases}$
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对于n步转移概率，有切普曼方程的离散形式 \(p_{ij}(n)=p_{ij}(l+k)=\sum_{r=1}^Np_{ir}(l)p_{rj}(k)\)
注：含义略，自行翻阅课本理解。
后记
- 终于打完了，打公式累死了！！！
- 祝大家学习进步，身体健康！告辞！